15．3 乘法公式
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课时安排?
??? 3课时?
??? 从容说课?
??? 学习乘法公式，是在学习整式乘法的基础上进行的，是由一般到特殊的体现，所以教学时，可以安排学生计算（a+b）（a-b）、（x-y）（x+y）、（a+b）2、（a-b）2、（x+y）2等，在学生计算的基础上引导学生导出公式，并进一步揭示公式的结构特征，使学生理解并掌握这些公式的特点，为正确运用这些公式进行计算打好基础．为了揭示公式特征，教学中要紧紧地采取对比的方式．紧扣例题与公式进行比较，让学生自己进行比较，发现公式的特征．尽管问题千变万化，以千姿百态出现，通过对比，可以发现特征不变，仍符合公式特征，从而根据公式解决问题．?
??? 运用乘法公式计算，有时需要添括号，在已学过去括号法则的基础上，本节还安排了添括号法则．它是乘法公式的进一步深化应用的工具和基础．学习它可以和去括号法则对比进行．?
??? 在对比中学，在对比中用，在对比中再进行比较，从基本类型的题目到变化多端的题目，从单一题型到复杂题型，从式中的系数、指数、符号、项数、数字等逐一对比，抓住公式、法则的实质，达到娴熟驾驭，左右逢源，才能做到运用自如的效果．?
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§15．3．1? 平方差公式?
第九课时?
??? 教学目标?
??? （一）教学知识点?
??? 1．经历探索平方差公式的过程．?
??? 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．?
??? （二）能力训练要求?
??? 1．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．?
??? 2．培养学生观察、归纳、概括的能力．?
??? （三）情感与价值观要求???? 在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美．?
??? 教学重点?
??? 平方差公式的推导和应用．?
??? 教学难点?
??? 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．?
??? 教学方法?
??? 探究与讲练相结合．?
??? 通过计算发现规律，进一步探索公式的结构特征，在老师的讲解和学生的练习中让学生体会公式实质，学会灵活运用．?
??? 教具准备?
??? 投影片．?
??? 教学过程?
??? Ⅰ．提出问题，创设情境?
??? [师]你能用简便方法计算下列各题吗？?
??? （1）2001×1999?? （2）998×1002?
??? [生甲]直接乘比较复杂，我考虑把它化成整百，整千的运算，从而使运算简单，2001可以写成2000+1，1999可以写成2000-1，那么2001×1999可以看成是多项式的积，根据多项式乘法法则可以很快算出．?
??? [生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了．?
??? [师]很好，请同学们自己动手运算一下．?
??? [生]（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1）?
??? =20002-1×2000+1×2000+1×（-1）?
??? =20002-1?
??? =4000000-1?
??? =3999999．?
??? （2）998×1002=（1000-2）（1000+2）?
??? =10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2?
??? =10002-22?
??? =1000000-4?
??? =1999996．?
??? [师]2001×1999=20002-12?
?????? 998×1002=10002-22?
??? 它们积的结果都是两个数的平方差，那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢？我们继续进行探索．?
??? Ⅱ．导入新课?
??? [师]出示投影片?
?? 计算下列多项式的积．?
??? （1）（x+1）（x-1）?
??? （2）（m+2）（m-2）?
??? （3）（2x+1）（2x-1）?
??? （4）（x+5y）（x-5y）?
??? 观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现．?
??? （学生讨论，教师引导）?
??? [生甲]上面四个算式中每个因式都是两项．?
??? [生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积．例如算式（1）是x与1这两个数的和与差的积；算式（2）是m与2这两个数的和与差的积；算式（3）是2x与1这两个数的和与差的积；算式（4）是x与5y这两个数的和与差的积．?
??? [师]这个发现很重要，请同学们动笔算一下，相信你还会有更大的发现．?
??? [生]解：（1）（x+1）（x-1）?
????????????? =x2+x-x-1=x2-12?
??? （2）（m+2）（m-2）?
??????? =m2+2m-2m-2×2=m2-22?
??? （3）（2x+1）（2x-1）?
??????? =（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12?
??? （4）（x+5y）（x-5y）?
??????? =x2+5y•x-x•5y-（5y）2?
??????? =x2-（5y）2?
[生]从刚才的运算我发现：?
??
??
也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果．?
??
??? [师]能不能再举例验证你的发现？?
??? [生]能．例如：?
51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12．?
??
??? 即（50+1）（50-1）=502-12．?
??? （-a+b）（-a-b）=（-a）•（-a）+（-a）•（-b）+b•（-a）+b•（-b）?
=（-a）2-b2=a2-b2?
??
??? 这同样可以验证：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．?
??? [师]为什么会是这样的呢？?
??? [生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了．?
??? [师]很好．请用一般形式表示上述规律，并对此规律进行证明．?
??? [生]这个规律用符号表示为：?
??? （a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．?
??? 利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明：?
??? （a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．?
??? [师]同学们真不简单．老师为你们感到骄傲．能不能给我们发现的规律（a+b）（a-b）=a2-b2起一个名字呢？?
??? [生]最终结果是两个数的平方差，叫它“平方差公式”怎样样？?
??? [师]有道理．这就是我们探究得到的“平方差公式”，请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式．?
??? （出示投影）?
??? 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．?
??? 即：（a+b）（a-b）=a2-b2?
??? 平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用．?
??? 在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算?
??? （出示投影片）?
??? 例1：运用平方差公式计算：?
??? （1）（3x+2）（3x-2）?
??? （2）（b+2a）（2a-b）?
??? （3）（-x+2y）（-x-2y）?
??? 例2：计算：?
??? （1）102×98?
??? （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）?
??? [师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座．?
??? 在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b．?
??? 即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22?
??? （a+b）（a-b）=a2-b2?
??? 同样的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）应先作如下转化：?
??? （b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．?
??? 如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．?
??? （作如上分析后，学生可以自己完成两个例题．也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的）?
??? [例1]解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4．?
??? （2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2．?
??? （3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2．?
??? [例2]解：（1）102×98=（100+2）（100-2）?
??? =1002-22=10000-4=9996．?
??? （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）?
??? =y2-22-（y2+5y-y-5）?
??? =y2-4-y2-4y+5?
??? =-4y+1．?
??? [师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么？?
??? [生]我觉得应注意以下几点：?
??? （1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．?
??? （2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．?
??? （3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．?
??? [生]运算的最后结果应该是最简才行．?
??? [师]同学们总结得很好．下面请同学们完成一组闯关练习．优胜组选派一名代表做总结发言．?
??? Ⅲ．随堂练习?
??? 出示投影片：?
??? 计算：?
??? （1）（a+b）（-b+a）?
??? （2）（-a-b）（a-b）?
??? （3）（3a+2b）（3a-2b）?
??? （4）（a5-b2）（a5+b2）?
??? （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）?
??? （6）（a-b）（a+b）（a2+b2）?
??? 解：（1）（a+b）（-b+a）=（a+b）（a-b）=a2-b2．?
??? （2）（-a-b）（a-b）=（-b-a）（-b+a）=（-b）2-a2=b2-a2．?
??? （3）（3a+2b）（3a-2b）=（3a）2-（2b）2=9a2-4b2．?
??? （4）（a5-b2）（a5+b2）=（a5）2-（b2）2=a10-b4．?
??? （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）=（a+2b）2-（2c）2?
??? =（a+2b）（a+2b）-4c2?
??? =a2+a•2b+2b•a+（2b）2-4c2?
??? =a2+4ab+4b2-4c2?
??? （6）（a-b）（a+b）（a2+b2）?
??? =（a2-b2）（a2+b2）?
??? =（a2）2-（b2）2=a4-b4．?
??? 优胜组总结发言：?
??? 这些运算都可以通过变形后利用平方差公式．其中变形的形式有：位置变形；符号变形；系数变形；指数变形；项数变形；连用公式．关键还是在于理解公式特征，学会对号入座，有整体思想．?
??? Ⅳ．课时小结?
??? 通过本节学习我们掌握了如下知识．?
??? （1）平方差公式?
??? 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．这个公式叫做乘法的平方差公式．即（a+b）（a-b）=a2-b2．?
??? （2）公式的结构特征?
??? ①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；?
??? ②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；?
??? ③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2．?
??? Ⅴ．课后作业?
??? 1．课本P179练习1、2．?
??? 2．课本P182～P183习题15．3─1题．?
??? Ⅵ．活动与探究?
??? 1．计算：1234567892-123456788×123456790?
??? 2．解方程：5x+6（3x+2）（-2+3x）-54（x- ）（x+ ）=2．?
??? 过程：?
??? 1．看似数字很大，但观察到：123456788=123456789-1，123456790=123456789+1，所以可以用平方差公式去化简计算．?
??? 2．方程中含有多项式的乘法，而且符合平方差公式特征，可以用平方差公式去化简．?
??? 结果：?
??? 1．1234567892-123456788×123456790?
??? =1234567892-（123456789-1）（123456789+1）?
??? =1234567892-（1234567892-1）?
??? =1234567892-1234567892+1?
??? =1．?
??? 2．原方程可化为：?
??? 5x+6（3x+2）（3x-2）-54[x2-（ ）2]=2?
??? ∴5x+6（9x2-4）-54x2+6=2?
??? 即5x+54x2-24-54x2+6=2?
??? 移项合并同类项得5x=20?
??? ∴x=4．?
??? 板书设计?
????
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?
备课资料?
??? [例1]利用平方差公式计算：?
??? （1）（a+3）（a-3）（a2+9）；?
??? （2）（2x-1）（4x2+1）（2x+1）．?
??? 分析：（1）（a+3）（a-3）适合平方差公式的形式，应先计算（a+3）（a-3）；（2）中（2x-1）（2x+1）适合平方差公式的形式，应先计算（2x-1）×（2x+1）?
??? 解答：（1）原式=（a2-9）（a2+9）?
??? =（a2）2-92=a4-81；?
??? （2）原式=[（2x-1）（2x+1）]（4x2+1）?
??? =[（2x）2-12]（4x2+1）?
??? =（4x2-1）（4x2+1）?
??? =（4x2）2-1=16x4-1．?
??? 方法总结：观察、发现哪两个多项式符合平方差公式的结构特征，符合公式结构特征的先算．这是这类试题的计算原则．?
??? [例2]计算：?
??? （1）1002-992+982-972+962-952+…+22-12；?
??? （2）（1- ）（1- ）（1- ）…（1- ）（1- ）．?
??? 分析：直接计算显然太复杂，不难发现每两个项正好是平方相减的形式．于是便考虑能否逆用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）去计算．事实上，这是可行的．?
??? 解答：（1）（1002-992）+（982-972）+（962-952）+…+（22-12）?
??? =（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（2+1）（2-1）?
??? =100+99+98+97+…+2+1?
??? =（100+1）+（99+2）+…+（51+50）?
??? =50×101=5050；?
??? （2）（1- ）（1- ）（1- ）…（1- ）（1- ）．?
??? =（1+ ）（1- ）（1+ ）（1- ）（1+ ）（1- ）…（1+ ）（1- ）（1+ ）（1- ）?
??? = × × × × × ×…× × × ×?
??? ＝ × = ．?
??? 方法总结：逆用平方差公式产生了很好的效果。相信你也会运用．| 中考政策 | 中考状元 | 中考饮食 | 中考备考辅导 | 中考复习资料 |