圆中的分类讨论
湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬
由于圆中的点、线在圆中的位置分布可能有多种情况，经常会导致其答案的不唯一性。如：点与圆的位置关系，点可能在圆内，也可能在圆外；两条弦的位置关系，可能在某一条直径的同侧，也可能在直径的异侧；圆与圆相切，可能外切，也可能内切，等等。因此，求解圆的有关问题时，要注意分类讨论思想。
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一、点与圆的位置关系不唯一性
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例1.若所在⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（?? ）。
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（A）
?? （B）
? （C）
或??? （D）a+b或a－b
?? （B）? （C）或??? （D）a+b或a－b?
分析：P可能在圆内，也可能在圆外。
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????????
???? 图1—1????????????????????? 图1—2
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⑴P在圆内时。如图1—1。
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连接O、P所在的直线交⊙O于A、B。
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则PA=a，PB=b? 直径AB=PA+PB=a+b，半径OA=OB=
AB=（a+b）
AB=（a+b）?
⑵P在圆外时。如图1—2。
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此时直径AB=PA－PB=a－b，半径OA=OB=AB=（a－b）
AB=（a－b）?
由⑴⑵可知，应选（C）。
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二、弦与弦的位置关系不唯一性
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例2.⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之间的距离是（?? ）。
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（A）7cm??? （B）8cm?? （C）7cm或1cm???? （D1cm
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分析：弦AB与CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。
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???????????? 图2—1???????????????????????? 图2—2
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⑴弦AB与CD在圆心的同侧。如图2—1。
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过O作弦AB的垂线，交AB于M，交CD于N。连接OB，OD。
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∵AB∥CD，OM⊥AB，ON⊥CD
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由垂径定理，BM=AB=3cm，DN=CD=4cm，又OB=OD=5cm
AB=3cm，DN=CD=4cm，又OB=OD=5cm?
在Rt△BMO中，OM=
=4cm，同理ON=3cm
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∴MN= OM－ON=4－3=1 cm
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⑵弦AB与CD在圆心的异侧。如图2—2。
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此时，MN=OM+ON=4+3=7cm??????? 故选（C）。
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例3．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，AC=
，在图中画出弦AD，使AD等于1，并求出∠CAD的度数。
，在图中画出弦AD，使AD等于1，并求出∠CAD的度数。?
分析：弦AC与弦AD可能在直径AB的同侧，可能在直径AB的异侧。
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⑴弦AC与弦AD在直径AB的同侧。如图3—1。
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连OC、OD。由OC=OD=AB=1，AC=
AB=1，AC=?
∴OC
+OD=AC
+OD=AC ∴∠AOC=90°，∠CAO=∠ACO=45°
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又OA=OD=AD，∴∠DAO=60°
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∴∠DAC=∠DAO－∠CAO=15°
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⑵弦AC与弦AD在直径AB的异侧。
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此时，∠DAC=∠DAO+∠CAO=115°
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三、点在直径上的位置不唯一性
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例4．已知⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB于点于点M。若OM：OA=3：5，则弦AC的长为多少？
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分析：垂足M可能在半径OA上，也可能在半径OB上。
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⑴M在半径OA上。如图4—1。
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连接OC。OC=OA=AB=5cm，?又OM：OA=3：5，∴OM=3cm
AB=5cm，?又OM：OA=3：5，∴OM=3cm?
∵AB是直径，弦CD⊥AB????
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∴在Rt△OMC中，? MC=
=4cm
=4cm?
又AM=OA－OM=2cm
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∴在Rt△AMC中，AC=
=
=
=2
（cm）
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⑵M在半径OB上。如图4—2.
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此时，AM=OA+OM=8cm
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AC==
=4（cm）
==4（cm）?
四、弦所对圆周角的不唯一性
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例5．圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（?? ）。
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30°或60°（B）60°（C）150°（D）30°或150°
（A）????? ?
（B）????? 分析：弦（不是直径）所对的弧有两条，一条优弧，一条劣弧，
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因此，一条弦所对的圆周角也有两个，并且这两个圆周角互补。
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如图5。劣弧所对的角为∠ACB，优弧所对的角为∠ADB。
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由AB=0A=OB，∴∠AOB=60°
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∴∠ACB=∠AOB=30°
∠AOB=30°?
∠ADB=（360°－∠AOB）=（360°－60°）=150°?? 故选（D）
（360°－∠AOB）=（360°－60°）=150°?? 故选（D）?
五、圆与圆的位置关系不唯一性
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例6．如果两圆相切，两圆的圆心距为8cm，圆A的半径为3cm，则圆B的半径是（?? ）。
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5cm （B）11cm （C）3cm （D）11cm或5cm
（A）????? ?
（B）????? 分析：圆与圆相切，可能是内切，也可能是外切。
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???????????
?
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⑴两圆外切。如图6—1。AB=8+3=11cm
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⑵两圆内切。如图6—2。AB=8－3=5cm??? 故选（D）
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六、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一性
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例7．已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长6cm，则这两个圆的圆心距为?????????? 。
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分析：两圆圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。
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⑴圆心在公共弦的异侧。如图7—1。
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连接O
A，O
A。由圆的对称性，O
A，OA。由圆的对称性，O O垂直平分公共弦AB。 ∴AD=AB=3
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在Rt△A OD中，OD=
=4
D中，OD==4?
在Rt△A O
D中，OD=
=
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∴O O= OD+ O
O= OD+ OD=4+
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⑵圆心在公共弦的同侧。如图7—2。
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此时，O O= OD－ OD=4－
O= OD－ OD=4－
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故这两个圆的圆心距为4+或4－。
或4－。?
（发表于《小博士报·中学辅导》）
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