“六招”搞定分式方程的检验
湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学 赵国瑞
先看两道解分式方程的题目：
?
(1)
；(2)
。
；(2)。?
解：(1)方程两边同乘以
，得
﹒解得x=3﹒
，得﹒解得x=3﹒?
(2)方程两边同乘以
，得
﹒解得
x=0﹒
，得﹒解得?
方程(1)中未知数的取值范围是
，方程(2)中未知数的取值范围是
﹒在去分母将分式方程转化为整式方程后，未知数的取值范围扩大到了全体实数﹒这时，若所得整式方程的解不在扩大的部分，那么所得的解就是原分式方程的解，如方程(2)的解x=0；若整式方程的解恰好在扩大的部分，那么此解就是原分式方程的增根，如方程
(1)的解x=3﹒
，方程(2)中未知数的取值范围是﹒在去分母将分式方程转化为整式方程后，未知数的取值范围扩大到了全体实数﹒这时，若所得整式方程的解不在扩大的部分，那么所得的解就是原分式方程的解，如方程(2)的解x=0；若整式方程的解恰好在扩大的部分，那么此解就是原分式方程的增根，如方程?
由此可见，增根是由于在分式方程转化为整式方程的变形过程中，未知数的取值范围扩大而导致的，这是增根产生的原因﹒
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虽然在解分式方程时可能产生增根，但它可以通过“检验”找出来﹒那么如何对分式方程进行检验呢？下面向你介绍六招：
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第一招?代入验根法
?
将所得的根代入原方程的左、右两边，若左边等于右边，则此根即为原方程的根，否则，此解为原方程的增根．
?
例1?方程
的解为
＿＿．
的解为＿＿．?
解：方程两边同乘以
，得
﹒解得
﹒
，得﹒解得﹒?
检验：把代入原方程，得左边=
=
，右边=
=，
代入原方程，得左边==，右边==，?
左边=右边，∴原方程的解．
原方程的解．?
点评：运用代入检验法，不仅能检验出原方程的增根，而且可以检验出求得的根是否正确．
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第二招?比较检验法
?
令分式方程中各分母等于零，求出使各分母为零的未知数的值，然后与所得的根进行比较，相同的即为原方程的增根，否则即为原方程的根﹒
?
例2?解方程
?
解：方程两边同乘以
，得
﹒
?
解得．
．?
检验：令
=0，得
；令
=0，得
=0，得；令=0，得
．
?
比较，得是原方程的根﹒
是原方程的根﹒?
点评：比较检验法适合所得根比较复杂的题型．
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第三招?公分母检验法
?
把解得的根代入所乘的最简公分母中进行判别，使公分母为零的值即为原方程的增根，否则即为原方程的根﹒
?
例3 解方程
．
．?
解：方程两边同乘以
，得
．解得．
，得．解得．?
把代入
代入，得=1≠0，
?
∴是原方程的根．
是原方程的根．?
点评：公分母检验法比较简单，因此常被广泛地应用﹒
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第四招?无需检验法
?
虽然在解分式方程时可能产生增根，但对于某些特殊的分式方程，我们可以用合并法(把同分母分式合并)，从而避免分式方程产生增根，因此用这种方法解分式方程无需验根﹒
?
例4 解分式方程
，可知方程( )
，可知方程( )?
A．解为
B．解为
B．解为
C．解为
D．无解
?
解：原方程即
，
，?
，
，即1=8．∴原分式方程无解．答案选D．?
点评：本题若按常规方法会产生增根．由于运用了合并法，从而避免了增根的产生，因此运用合并法解分式方程不需要检验．除了运用合并法可以避免分式方程产生增根外，还可运用换元法避免分式方程产生增根，如在解分式方程
时，若按常规方法会产生增根，若采用换元法，设
，则
．由于运用了合并法，从而避免了增根的产生，因此运用合并法解分式方程不需要检验．除了运用合并法可以避免分式方程产生增根外，还可运用换元法避免分式方程产生增根，如在解分式方程时，若按常规方法会产生增根，若采用换元法，设，则
﹒原方程可化为
﹒即
﹒0=-2．∴原方程无解﹒
?
第五招?根据取值范围检验
?
例5?已知x为实数，且
，那么
，那么
的值为( )
?
A．1 B．-3或1 C．3 D．-1或3
?
解：设
，原方程变形为
．
，原方程变形为．?
即
．解得
，
．
?
经检验，，都是原方程的根．
，都是原方程的根．?
但
，∴
．
，∴．?
而不满足，满足．
不满足，满足．?
∴
是原方程的根，故应选A．
是原方程的根，故应选A．?
点评：本题有意识地为同学们设置了一个“陷阱”，如果不注意的值的范围，极易错选B，正中命题者的“陷阱”．
的值的范围，极易错选B，正中命题者的“陷阱”．?
第六招?根据题意检验
?
例6 A、B两地相距18千米，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1千米，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少千米管道？
?
解：设甲工程队每周铺设管道x千米，则乙工程队每周铺设管道
千米．
千米．?
根据题意，得
．
．?
方程两边同乘
，得
．
，得．?
整理，得
．解得x=-2或x=3．
．解得x=-2或x=3．?
经检验，x=-2或x=3都是原方程的根．由于x表示甲工程队每周铺设管道的长度，不可能为负数，因此x=-2不合题意，所以x=3．
?
点评：解分式方程应用题要注意进行“双重”检验：不仅要对方程的解进行检验，还要对题意进行检验，看看方程的解是否符合问题的实际意义．
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