浅谈数学问题中的特值法
蓬安县杨家中学 陈晓明
所谓特值法，就是在某一范围内取一个特殊值，将繁杂的问题简单化，这对于解有关不需整个解题思维过程的客观题十分生效。其关键在于如何寻求特殊值。下面介绍几种常用寻求特殊值法解题的方法：
?
?
例1：如果0＜x＜1,则式子
的化简结果是（???? ）
的化简结果是（???? ）?
A、
??? B、
??? C、??? B、
??? D、﹣
?
方法（一）：直接化简
?
解: ∵0＜x＜1?? ∴
＜
?
∴原式＝
?
=
?
?????? ???????????=
?
????????????? ????=
?
?????????????????＝
＝﹣??
?
方法（二）：特值法
?
解：∵0＜x＜1，可取＝
＝
?
∴原式＝
×
××
＝
， ∵﹣＝﹣
＝
×
＝
?
?? ∴选D。
?
例2：若a＜
﹣1,则3－
的最后结果是（?? ）
?
????? ??A
、3-a???? B、3+a???? C、-3-a???? D、a-3
?
方法（一）：直接法
?
解：∵解：∵
a＜﹣1，＜﹣1，∴a-3＜0
?
∴原式=3-
=3-（-
=3-（-
）=3+a
?
方法（二）： 特值法
?
解：∵a＜
﹣1，可以取a=-4，代入计算：
?
?? 原式=-1，又3+a=-1，?∴选B。
?
??
例3、如果
，则
的值是（??? ）
?
?????? A
、0???? B、-1??? C、1????? D、不能确定
?
方法（一）：直接法
?
???? 解：
∵abc＝1
?
???????? ∴原式＝+
+
++
?
????????????? ?=+
++
?
=
?
????????????????????＝1??????????? 故选C
?
方法（二）：特值法
?
???? 解：∵abc=1,可取a=1,b=1,c=1,代入得：
?
????????? 原式＝++＝1?? 故选C
?
二、在隐含的范围内寻求特殊值；
?
例：如果x、y、z是不全相等的实数，且
，
，
，则以下结论正确的是（??? ）
?
A、a、b、c都不小于0??????? B、a、b、c都不大于0
?
C、a、b、c至少一个小于0?? ?D、a、b、c至少一个大于0
?
分析：此题若直接解比较繁杂，可采用特值法，较为简便，由x、y、z是不全相等的实数，可分为两种情况：
?
①x、y、z都不相等；
?
②x、y、z中有两个相等；
?
当x、y、z都不相等时，可取x=1,y=0,z=-1,则a=1，b=1，c=1，可排除B和C；
?
当x、y、z中有两个相等时，可以取x=0,y=z=1,则a=-1,b=1,c=1，可排除A；
?
综合以上情况，所以选D。
?
三、在选择的结论范围内寻求特殊值；
?
例1、如果方程
有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（?? ）
有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（?? ）?
A、q≤0?? B、q＜
?? C、0≤q＜??? D、q≥
?
方法（一）：直接法
?
解：∵
?
?? ∴y≥0,则y≥q?? ∴q≥0或q＜0
?
?? ∴
?
???????? ∵△=1-4q＞0?? 即q＜
?
????????? 当q＜0时，方程无根，∴0≤q＜
?
方法（二）：特值法
?
???????? 在A、B范围内取q＝-6，代入方程化简为
，此时方程有一负根，可排除A、B。
?
???????? 在D 的范围内可取q=1，代入得
，方程无解，排除D。故选C。
，方程无解，排除D。故选C。?
例2、如果方程
的三根可作为一个三角形的三边长，则m的取值范围是（?? ）
的三根可作为一个三角形的三边长，则m的取值范围是（?? ）?
A、m≥
?? ??B、＜m≤1 ????C、≤m≤1?? D、m≤
?
分析:此题直接解比较困难，则可采用特值法。
?
解：在A、C、D范围内取m=
,代入方程得：
?
,解得，
，
，
?
∴
???? ∴不符合三角形两边之和大于第三边。
?
故选C。
?
综上，通过对比，可见特值法在解决数学问题时，具有举足轻重的作用，有时比一般方法更方便、更快捷，我们在应用时一定要细心审题，灵活运用此法。
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