浅谈数学问题中的特值法
蓬安县杨家中学 陈晓明
所谓特值法,就是在某一范围内取一个特殊值,将繁杂的问题简单化,这对于解有关不需整个解题思维过程的客观题十分生效。其关键在于如何寻求特殊值。下面介绍几种常用寻求特殊值法解题的方法:
?
?
例1:如果0<x<1,则式子
的化简结果是(???? )

?
A、
??? B、
??? C、



?
方法(一):直接化简
?
解: ∵0<x<1?? ∴
<

?
∴原式=

?
=

?
?????? ???????????=

?
????????????? ????=

?
?????????????????=

?
方法(二):特值法
?
解:∵0<x<1,可取
=


?
∴原式=
×
×








?
?? ∴选D。
?
例2:若a<
﹣1,则3-
?
????? ??A
、3-a???? B、3+a???? C、-3-a???? D、a-3
?
方法(一):直接法
?
解:∵解:∵
a<﹣1,<﹣1,∴a-3<0
?
∴原式=3-
=3-(-


?
方法(二): 特值法
?
解:∵a<
﹣1,可以取a=-4,代入计算:
?
?? 原式=-1,又3+a=-1,?∴选B。
?
??
例3、如果

?
?????? A
、0???? B、-1??? C、1????? D、不能确定
?
方法(一):直接法
?
???? 解:
∵abc=1
?
???????? ∴原式=
+
+



?
????????????? ?=
+



?
=

?
????????????????????=1??????????? 故选C
?
方法(二):特值法
?
???? 解:∵abc=1,可取a=1,b=1,c=1,代入得:
?
????????? 原式=


?
二、在隐含的范围内寻求特殊值;
?
例:如果x、y、z是不全相等的实数,且
,


?
A、a、b、c都不小于0??????? B、a、b、c都不大于0
?
C、a、b、c至少一个小于0?? ?D、a、b、c至少一个大于0
?
分析:此题若直接解比较繁杂,可采用特值法,较为简便,由x、y、z是不全相等的实数,可分为两种情况:
?
①x、y、z都不相等;
?
②x、y、z中有两个相等;
?
当x、y、z都不相等时,可取x=1,y=0,z=-1,则a=1,b=1,c=1,可排除B和C;
?
当x、y、z中有两个相等时,可以取x=0,y=z=1,则a=-1,b=1,c=1,可排除A;
?
综合以上情况,所以选D。
?
三、在选择的结论范围内寻求特殊值;
?
例1、如果方程
有两个不相等的实数根,则q的取值范围是(?? )

?
A、q≤0?? B、q<



?
方法(一):直接法
?
解:∵

?
?? ∴y≥0,则y≥q?? ∴q≥0或q<0
?
?? ∴

?
???????? ∵△=1-4q>0?? 即q<
?
????????? 当q<0时,方程无根,∴0≤q<

?
方法(二):特值法
?
???????? 在A、B范围内取q=-6,代入方程化简为

?
???????? 在D 的范围内可取q=1,代入得
,方程无解,排除D。故选C。

?
例2、如果方程
的三根可作为一个三角形的三边长,则m的取值范围是(?? )

?
A、m≥




?
分析:此题直接解比较困难,则可采用特值法。
?
解:在A、C、D范围内取m=

?




?
∴

?
故选C。
?
综上,通过对比,可见特值法在解决数学问题时,具有举足轻重的作用,有时比一般方法更方便、更快捷,我们在应用时一定要细心审题,灵活运用此法。
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