一、知识要点：
?
1.? 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
的根的判别式Δ=b2-4ac。?
定理1? ax2+bx+c=0(a
≠0)中，Δ＞0
方程有两个不等实数根.
?
定理2? ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根.
?
定理3? ax2+bx+c=0(a≠0)
中，Δ＜0方程没有实数根.
?
2、
根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。?
定理4? ax2+bx+c=0(a≠
0)中，方程有两个不等实数根Δ＞0.
?
定理5? ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根Δ＝0.
?
定理6? ax2+bx+c=0(a≠0)
中，方程没有实数根Δ＜0.
?
注意：（1）再次强调：根的判别式是指Δ=b2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.?
二.根的判别式有以下应用：?
①? 不解一元二次方程，判断根的情况。
?
例1．? 不解方程，判断下列方程的根的情况：?
(1)???????? 2x
2+3x-4=0 (2)ax2+bx=0(a≠0)????
解：(1) 2x2+3x-4=0
?
a=2, b=3, c=-4,
?
∵Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0
?
∴方程有两个不相等的实数根。
?
(2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，
?
∵Δ=(-b)
2-4·a·0=b2,?
∵无论b取任何关数，b2均为非负数，
?
∴Δ≥0， 故方程有两个实数根。
?
②? 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
?
例2．k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；
?
分析：由判别式定理的逆定理可知（1）Δ＞0；（2）Δ=0；（3）Δ＜0；
?
解：Δ=(-4)2-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k
?
（1）∵方程有两个不相等的实数根，
?
∴Δ＞0，即36-4k＞0.解得k
＜9?
（2）∵方程有两个不相等的实数根，
?
∴Δ
=0，即36-4k=0.解得k=9?
（3）∵方程有两个不相等的实数根，
?
∴Δ<0，即36-4k<0.解得k>9
?
③? 证明字母系数方程有实数根或无实数根。?
例3．求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
?
分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。
?
证明： Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)
?
=4m2-4(m4+5m2+4)
?
=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)
?
=-4(m2+2)2
?
∵不论m取任何实数(m2+2)2>0,?
∴ -4(m2+2)2<0, 即Δ<0.
?
∴
关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。?
小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：
?
（1）计算Δ（2）用配方法将Δ恒等变形（3）判断Δ的符号（4）结论.其中难点是Δ的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a2+2,(a2+2)2, -a
2, -(a2+2)2的代数式，从而判定正负，非负等情况。?
④? 应用根的判别式判断三角形的形状。
?
例4．已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2
ax=0有两个相等的实数根。求证ΔABC为RtΔ。
?
证明：整理原方程：
?
方程c(x2+m)+b(x2-m)- 2
ax =0.
?
整理方程得：cx2+cm+bx2-bm-2ax =0
?
(c+b)x2-2ax +cm-bm=0
?
根据题意：
?
∵方程有两个相等的实数根，?
∴Δ=(-2a)2-4(c+b)(cm-bm)=0
?
4ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0?
ma2-c2m+b2m=0
?
∴Δ=m(a2+b2-c2)=0
?
又∵ m>0, ∴a2+b2-c2=0 ∴a2+b2=c2 又∵a,b,c为ΔABC的三边， ∴ΔABC为RtΔ。?
⑤?? 判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式?
例5、（1）若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是（ ）;
?
（2）若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是（）;
?分析：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。即Δ
?
解：（1）令16a2+ka+1=0
?
∵方程有两个相等的实数根，?
∴Δ=k2-4×16×25=0
?
∴k=+40或者-40
?
（2）令ka2+4a+15=0
?
∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=16-4k=0? ∴k=4
?
⑥? 可以判断抛物线与直线有无公共点
?
例
6:当m取什么值时，抛物线与直线y=x＋2m只有一个公共点？?
解:列方程组
消去y并整理得x2+x-m-1=0
?
??
，∵抛物线与直线只有一个交点，
?
∴Δ＝0，即 4m+5=0????? ∴ 
?
(? 说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。)
?
⑦?
可以判断抛物线与x轴有几个交点?
分析：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点? （１）当y=0时，即有ax2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可见，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况确定的，而决定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：??
? ①? 当
时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0）（x2，0）。???
?②当时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（
）。???
?③当 
时，抛物线与x轴没有交点。
?
例7、判定下列抛物线与x轴交点的个数：?
? （１）
? （３）
?
? 解：（１）Δ＝16-12=4>0??? ∴抛物线与x轴有两个交点。?
????? （２）Δ＝
36-36=0????? ∴抛物线与x轴只有一个公共点。?
???? ? （３）Δ＝4-16=-12<0?? ∴抛物线与
x轴无公共点。?
例8、已知抛物线
?
? （１）当m取什么值时，抛物线和x轴有两个公共点？
?
? （２）当m取什么值时，抛物线和x
轴只有一个公共点？并求出这个公共点的坐标。?
? （３）当m取什么值时，抛物线和x轴没有公共点？
?
解：令y=0，则
Δ＝4-4(m-1)= -4m+8
?
? ??(1)∵抛物线与x轴有两个公共点， ∴Δ>0，即 – 4m+8>0?????? ∴m<2?
? ?? (2)∵抛物线和x轴只有一个公共点， ∴Δ＝0，即 –4m+8=0??? ∴m=2
?
??????? 当m=2时，方程可化为
，解得x1=x2= -1，∴抛物线与x轴公共点坐标为（-1,0）。
?
??? (3)∵抛物线与x轴没有公共点， ∴Δ<0，即 －4m+8<0
， ∴m>2?
?????? ∴当m>2时，抛物线与x轴没有公共点。
?
⑧? 利用根的判别式解有关抛物线
（Δ>0）与x轴两交点间的距离的问题.
?
分析:抛物线
（Δ>0）与x轴两交点间的距离，是对应的一元二次方程 
的两根差的绝对值。它有以下表示方法：
?
? ?例9: 求当a为何值时
?二次函数
?图象与x轴的两个交点间的距离是3。
?
?
解：令y=0，得方程
，设这个一元二次方程的两根分别为x1和x2，则
由
得，即
。进而得
∴a=
或a=
。??? ∴当
时，图象与x轴两个交点间的距离是3。| 中考政策 | 中考状元 | 中考饮食 | 中考备考辅导 | 中考复习资料 |